amicable numbers
英語のamicableとは、友好的な、平和的な、互いに好意的なといった意味の形容詞です。人間関係や交渉、議論などが円滑に進行し、敵意や対立がない状態を表します。「私たちはamicableな解決策を見つけた」は、私たちは友好的な解決策を見つけた、つまり互いに納得し合える解決策を見つけたという意味です。したがってamicable numbersの日本語訳はさしずめ友好数が適当でしょう。
220と284が友好数です｡前回紹介した完全数は「自分自身以外の約数の和（以後これを簡単に“約数の和”と呼ぶことにする）」が自分自身に等しい数のことです。
220と284は完全数ではありませんが、それぞれの“約数の和”を計算してみるとあることに気づきます。284の約数は、1、2、4、71、142、284だから“約数の和”は1+2+4+71+142=220。220の約数は1、2、4、5、10、11、20、22、44、55、110、220だから“約数の和”は1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284。
284の“約数の和”が220で、220の“約数の和”が284という関係です。この関係をamicableと表現したわけです。紀元前5世紀の古代ギリシャ時代の数学者ピタゴラスは220と284が友好数であることを知っていました。
このように220と284はamicable numbers（友好数）は組なのでamicable pair（友好的なペア）とも呼ばれます。（220、284）は最小のamicable pairです。ちなみに友愛数という日本語訳が流通していますが、amicableには友愛の意味はありません。友愛の英語訳はbrother hood、fraternity、friendlyなどです。
2番目の友好数は19世紀になってから
次の友好数の17296と18416が発見されるには9世紀のアラビアまで待たなくてはなりませんでした。ピタゴラスの時代から1400年ほどかかったことになります。発見したのは数学者、天文学者であるサービト・イブン・クッラ（836頃-901）で彼は友好数の見つけ方の本も著しています。
ここからさらに700年後の1636年に数学者フェルマーは同じ友好数17296と18416を再発見しています｡さらにその2年後の1638年に友好数9363584と9437056が数学者デカルトによって発見されました。メルセンヌ素数で有名なメルセンヌへ宛てたデカルトの手紙にそのことが記されています。
興味深いことに、2番目の大きさの友好数1184と1210が発見されたのはこの後の1866年のことで発見したのは十代のパガニーニ（バイオリニストのパガニーニとは別人）です。
1184の“約数の和”
1+2+4+8+16+32+37+74+148+296+592=1210
1210の“約数の和”
1+2+5+10+11+22+55+110+121+242+605=1184
次に大きな友好数は2620と2924。
2620の“約数の和”
1+2+4+5+10+20+131+262+524+655+1310=2924
2924の“約数の和”
1+2+4+17+34+43+68+86+172+731+1462=2620
60組あまりの友好数を発見したオイラー
このように完全数と同じように友好数も容易に発見できません。その困難を打開したのが8番目の完全数を発見した数学者オイラーです。オイラーは友好数を探し出すためのうまい方法を考案することにより、60組あまりの友好数を発見しました。
2005年には24073桁の友好数が発見されています。現在、そのオイラーの方法とコンピューターを用いて1200万ほどの友好数の組が発見されています。
不思議なことにこれまでに発見された友好数は偶数どおしか奇数どうしで、偶数と奇数の組は発見されていません。「偶数と奇数の友好数はあるか」は現在も未解決な問題です。2500年以上の昔から続く完全数や友好数の探究は現在進行形です。
執筆者プロフィール
桜井 進（さくらい すすむ）
1968年山形県東根市生まれ。サイエンスナビゲーターⓇ。株式会社sakurAi Science Factory 代表取締役CEO。東京理科大学大学院非常講師。東京工業大学理学部数学科卒。同大学大学院院社会理工学研究科博士課程中退。小学生からお年寄りまで、誰でも楽しめて体験できる数学エンターテイメントは日本全国で反響を呼び、テレビ・新聞・雑誌など多くのメディアに出演。著書に『雪月花の数学』『感動する！数学』『わくわく数の世界の大冒険』『面白くて眠れなくなる数学』など50冊以上。「桜井進の魔法の算数教室」と「桜井進の数学浪漫紀行」を毎月開催。
サイエンスナビゲーターは株式会社sakurAi Science Factoryの登録商標です。
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