2³（２の３乗）は２×２×２のことで８であることが分かりやすいのに対して、2⁰が1であることはイマイチピンときません。その理由を解説していきます。
せっかくなので計算の説明の前に、何乗の計算にまつわる用語の説明からはじめていきましょう。
冪・冪乗・べき乗・累乗・指数・底とは
四則演算であるたし算（加法）、ひき算（減法）、かけ算（乗法）、割り算（除法）の計算結果（演算結果）がそれぞれ、和、差、積、商と呼ばれるように、abの計算結果（演算結果）を冪（べき）、abの演算を冪乗またはべき乗と呼びます。
冪（べき）とは、おおい隠すことです。冪＝冖（べき）＋幕ですが、「冖」は布で物を覆うこと、「幕」でおおい隠すことを示しています。略字として「巾」と書くこともあります。
累とは、かさねることです。累乗は「かさねた乗算」の意味です。わが国の教科書では累乗が使われています。冪は常用漢字・当用漢字には含まれていません。そこで代わりに使われることになったのが平仮名の「べき」と「累」です。
もともとの冪と後から使われることになる累ですが、使い方に違いがあります。指数が自然数の場合の冪乗を累乗と区別する使い方もありますが、冪乗・べき乗・累乗はほとんど同じ意味で使われます。
演算結果は冪であり、累とはいいません。また、冪級数・巾級数という数学用語がありますが、これも累級数とはいいません。
もともとの冪と後から使われることになる累ですが、使い方に違いがあります。指数が自然数の場合の冪乗を累乗と区別する使い方もありますが、冪乗・べき乗・累乗はほとんど同じ意味で使われます。
演算結果は冪であり、累とはいいません。また、冪級数・巾級数という数学用語がありますが、これも累級数とはいいません。
なぜaの0乗は1なのか？（説明その１） aが自然数の場合
aが1、２、３についてa³、a²、a¹そしてa⁰と順に見ていくと1⁰、2⁰、3⁰が1であることがわかります。aが1の場合、指数が3から2、２から１と1小さくなると冪は「÷1」で小さくなります。指数が1から０の場合にもこのルールが成り立つと考えることでa⁰がわかるということです。aが２、３の場合には冪はそれぞれ「÷２」、「÷３」のルールです。
aが1より小さい場合でもこれと同じように説明できて、(1/2)⁰＝1、(1/3)⁰＝1となります。したがって、aが自然数と1/自然数の場合にa⁰＝1が説明できます。
なぜaの0乗は1なのか？（説明その2）aがネイピア数eの場合
aが説明その1以外の数でも0乗が1になることは説明してみましょう。オイラーの公式は指数関数と三角関数が虚数を通してつながっていることを説明します。ネイピア数eとは微分積分にとって欠かすことができない数です。ネイピア数eは円周率π(=3.14…）と並んで重要な数学定数です。その値もπに近く、2.718281828459045…で無理数です。
この公式のxに0を代入してみます。左辺はe⁰です。右辺はcos 0＝1、sin 0＝0より1です。したがって、e⁰＝1が導かれます。
ちなみに虚数iについてはいずれ取り上げたいと思います。
なぜaの０乗は1なのか？（説明その３）指数法則による説明
実はaは自然数、1/自然数だけでなくすべての正の実数でa⁰＝1が説明できます。それは指数法則により説明できます。
2³×2⁴＝(2×2×2)×(2×2×2×2)＝23+4＝2⁷
という計算ルールがaがすべての正の実数で成り立つというのが指数法則です。下の図のように指数法則において、y=0とするとa⁰＝1が導かれます。
後半に続く
執筆者プロフィール
桜井 進（さくらい すすむ）
1968年山形県東根市生まれ。サイエンスナビゲーターⓇ。株式会社sakurAi Science Factory 代表取締役CEO。東京理科大学大学院非常講師。東京工業大学理学部数学科卒。同大学大学院院社会理工学研究科博士課程中退。小学生からお年寄りまで、誰でも楽しめて体験できる数学エンターテイメントは日本全国で反響を呼び、テレビ・新聞・雑誌など多くのメディアに出演。著書に『雪月花の数学』『感動する！数学』『わくわく数の世界の大冒険』『面白くて眠れなくなる数学』など50冊以上。「桜井進の魔法の算数教室」と「桜井進の数学浪漫紀行」を毎月開催。
サイエンスナビゲーターは株式会社sakurAi Science Factoryの登録商標です。
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