1、2、3、4、5、6、7、8、9、10は等差数列
これくらいのたし算であれば、そのまま左から一つずつたし算しても答えが55とわかります。
1、2、3、4、5、6、7、8、9、10は等差数列なので、等差数列の和の公式
により計算すると、
これらを足し合わせると
五番目の数字の後ろに5をつける！
計算スピードアップするための呪文「五番目の数字の後ろに5をつける！」があります。連続する10個の数が小さい順に並んでいるとすると、合計は、小さい方から5番目の数字の後に5をつけた数字になります。
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 →5番目が5、それに続けて5を付けた55が答え
4+5+6+7+8+9+10+11+12+13 →5番目が8、それに続けて5を付けた85が答え
8+9+10+11+12+13+14+15+16+17 →5番目が12、それに続けて5を付けた125が答え
たし算する数が大きくなれば呪文の威力が発揮されます。
連続する100個の自然数のたし算
10個が100個になった場合にも同じような呪文になります。連続する100個の数が小さい順に並んでいるとすると、合計は、小さい方から50番目の数字の後に50をつけた数字になります。
1＋2＋3＋…＋50＋…＋99＋100 → 50番目が50、それに続けて50を付けた5050が答え
32＋33＋34＋…＋81＋…＋130＋131 → 50番目が81、それに続けて50を付けた8150が答え
呪文の謎解き
たし算を図に置き直して考えてみます。10+11+12+13+14+15+16+17+18+19を例にすると、次のようにブロックを並べた階段のようになります。たし算の答え（和）はこのブロックの個数とみることができます。
左から5番目のブロック15個を基準にすると、6番目、7番目、8番目、9番目のブロックはそれぞれ11個から1個、2個、3個、4個上にはみ出しています。これらを順に4番目、3番目、2番目、1番目のブロックの上に積み重ねてあげると一番目から九番目までのブロックはすべて14個にそろいます。
十番目のブロックだけは19個ですが、14個と5個に分けることで14個のブロックが10個そろうことになり、それに十番目の上にある5個を加えればいいことになります。
すると、ブロックの合計は14×10＋5＝140+5=145と計算できます。結局、145とは5番目の数字14の後ろに5をつけた数字と言い換えることができます。
連続する10個の数の和は、5番目の数字の後ろに5をつければいい。
連続する100コの自然数のたしざんの場合も、これと同じように考えることができて「五十番目の数字の後ろに50をつける！」がわかります。
執筆者プロフィール
桜井 進（さくらい すすむ）
1968年山形県東根市生まれ。サイエンスナビゲーターⓇ。株式会社sakurAi Science Factory 代表取締役CEO。東京理科大学大学院非常講師。東京工業大学理学部数学科卒。同大学大学院院社会理工学研究科博士課程中退。小学生からお年寄りまで、誰でも楽しめて体験できる数学エンターテイメントは日本全国で反響を呼び、テレビ・新聞・雑誌など多くのメディアに出演。著書に『雪月花の数学』『感動する！数学』『わくわく数の世界の大冒険』『面白くて眠れなくなる数学』など50冊以上。「桜井進の魔法の算数教室」と「桜井進の数学浪漫紀行」を毎月開催。
サイエンスナビゲーターは株式会社sakurAi Science Factoryの登録商標です。
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